Al contemplar un fractal, inevitablemente recordamos alguna forma de la naturaleza; parece que la esencia de la geometría de la realidad, y con ella su atractivo, halla una simulación, o una explicación, en la geometría fractal. Pero veamos por qué decimos esto. Ante todo, expliquemos por qué a esta singular especialización en la teoría del caos se la conoce como geometría fractal.

Dimensión fractal

El que estos objetos reciban el nombre precisamente de esta propiedad, el poseer dimensión decimal, nos puede hacer sospechar, con razón, sobre la importancia de este concepto, tanto en su análisis como en su significación.

Al poseer una dimensión situada entre dos números enteros, no podremos tratarlo como un volumen y un área bien definidos. Así, diremos de un fractal con dimensión situada en el intervalo (1,2) que es una superficie no delimitada por una curva o un conjunto de rectas, pero que no llega a ser un plano (su perímetro es infinito y no diferenciable). Si ésta estuviera en (0,1) diríamos que se trata un conjunto de puntos alineados que no llegan a constituir una recta, pese a ser infinitos y a estar infinitamente próximos entre sí. Éste es el caso del conjunto de Cantor (que vimos en la sección acerca del estudio mediante la topología). Presentamos aquí una de las figuras de Koch, construidas mediante un proceso geométrico iterado. El fractal resultante tiene dimensión en el intervalo (1,2).

Este significado de la dimensión fractal tiene una interpretación física muy interesante: la dimensión fractal de un objeto es un parámetro que nos cuantifica la capacidad de éste de ocupar espacio, independientemente de la estructura geométrica del mismo. El fractal se extiende por el espacio de dimensión menor (de las dos entre las que se encuentra) repitiendo un mismo motivo indefinidamente, hasta "superar" esa dimensión (al poseer longitudes, áreas o volúmenes infinitos).

Además de esta información, cualitativa en cierto modo, y que aprovecha poco el valor numérico (el número que representa la dimensión), ésta nos indica la escala a la que se encuentran ciertos parámetros al aparecer las copias del conjunto inicial en el desarrollo del cuerpo del fractal. Y en este número se diferencian todos los fractales entre sí. Todos presentan copias de sí mismos (autosemejanza), no exactamente idénticas, en su cuerpo, pero no escalan de la misma forma. Por eso, atribuimos a la dimensión el "grado de ocupación" del espacio por el conjunto en cuestión. Pensemos ahora un momento en la idea que tenemos de la naturaleza, como sistema en evolución, que tiende al mejor aprovechamiento del entorno. ¿No utilizará ésta una geometría de dimensión fractal, con el fin de aprovechar lo mejor posible el espacio? Los pulmones son superficies increíblemente extensas, situadas en un volumen muy reducido; el conjunto de conductos de nuestro sistema circulatorio colocado en línea recta tendría una longitud inmensa y, sin embargo, está situado en nuestro cuerpo ocupando una superficie finita y reducida. Y como éstos, podemos pensar en muchos ejemplos más. Teniendo presente la idea de que la naturaleza tiende a maximizar o minimizar algunas magnitudes, los fractales aparecen como geometría propia y característica de ésta.

Relación con los sistemas dinámicos

Antes de preguntarnos qué relación existe entre los objetos fractales y los sistemas dinámicos, veamos cómo se construye un fractal. Existen varias formas de obtener este tipo de figuras. Todas ellas tienen en común la necesidad de iterar una acción un número elevado de veces (indefinidamente, en teoría).

Uno de estos métodos es el de iteración de una transformación concerniente a la geometría. Por ejemplo: "divide cada segmento en tres partes y quita la parte central". Con esta última acción reiterada una y otra vez llegamos al conjunto de Cantor, el primer objeto fractal estudiado. Éste método de obtención de fractales es muy sencillo, y con él podemos obtener imágenes semejantes a los copos de nieve, motivos artísticos, etc. La figura que aquí ofrecemos es una de las versiones de la "alfombra de Sierpinsky", donde la transformación consiste en unir los lados centrales de los triángulos exteriores (los que tienen el centro de masas por encima del lado horizontal). Reiterando una y otra vez la función obtenemos el fractal.

Otra forma de obtener fractales es siguiendo la órbita de un punto en un sistema dinámico caótico. Lo que obtenemos se conoce como atractor extraño y viene a indicar la zona del espacio de fases por la que circulan los distintos puntos del sistema caótico. La importancia de estas figuras reside en que son fractales directamente extraídos de los sistemas dinámicos; son por lo tanto gráficos unificadores. El estudio mediante técnicas que no veremos de estos objetos permite hacernos una idea de algunas características del sistema dinámico. La figura que vemos a la derecha es conocida como el atractor de Lorenz, y caracteriza el primer sistema dinámico caótico descubierto. Una forma distinta a la anterior de generar fractales, es mediante alguna propiedad referente a la sucesión de puntos valores de cada iteración (la órbita del punto inicial). Aplicamos una función sobre un punto, y observamos la tendencia de la sucesión de puntos formada (si converge o no). Veremos más claro todo esto mediante el siguiente ejemplo, obra del primer investigador de la geometría fractal: Benoit Mandelbrot. Por ello el conjunto se conoce como fractal de Mandelbrot. En el espacio de los números complejos (de dos dimensiones reales, una la parte imaginaria, y otra la real), iteramos sobre cada punto la siguiente función:

Si la órbita del punto converge, entonces pintamos el punto. Si no converge, fijamos un número de modo que al superar una sucesión éste número en una de las iteraciones, pintamos el punto origen de ésta con un color según la iteración (por ejemplo, según la última cifra del valor de ésta). Con estas leyes obtenemos uno de los fractales más conocidos y a la vez asombrosos. En él se dan claramente la autosemejanza y la alta ocupación del espacio.

La imagen producida por la aplicación reiterada de esta función es la que aquí aparece (en la página). Puede irse ampliando la imagen (haciendo "zooms") y nos encontraremos que la esta curiosa silueta aparece repetida a escalas mucho más pequeñas indefinidamente. Finalmente, podemos hablar de otra forma de crear figuras fractales, conocida como "Chaos Game". Es muy general, y puede dar lugar a todo tipo de fractales, incluidos los anteriores. El método es muy sencillo: tenemos n reglas sobre el espacio de fases (que llevan un punto a otro punto del espacio), y una sucesión de n sucesos una determinada probabilidad. Según el suceso que ocurra aplicamos sobre el punto una u otra ley. Hacemos que aparezca un nuevo suceso, y repetimos el proceso. Reiterado este mecanismo una y otra vez obtenemos figuras de todo tipo. Una de ellas, quizá la más famosa, es la de la hoja de helecho que aquí presentamos. Este fractal se ha generado con cuatro funciones con distinta probabilidad, siendo cada función lineal (una matriz). Fijémonos en las características propias de fractal: autosemejanza (cada ramita es igual a la hoja entera) y repetición.

Un mecanismo tan sencillo es capaz de generar una imagen tan bella como la que aquí vemos, claramente presente en la naturaleza. Con este método podemos simular las costas de un continente, un cielo estrellado, galaxias, árboles, por eso es uno de los más interesantes (y con muchas aplicaciones para el mundo multimedia).

Con esto hemos visto cómo se construye un fractal. Pero, ¿qué relación guardan estas hermosas figuras con los sistemas dinámicos caóticos? En primer lugar tenemos procesos iterativos en todos los métodos de construcción, también presentes en los sistemas dinámicos. Pero no sólo en la construcción aparece la reiteración. Como hemos visto, la autosemejanza y la repetición de un mismo motivo son características de los fractales, constituye su método de conquista del espacio. Luego, si consideramos el mecanismo que crea un fractal como un sistema dinámico (por ser un proceso iterado), el objeto pasa a ser la representación gráfica de la ley. En los atractores, esta concepción es clara, puesto que se forman a partir de órbitas de puntos. En un conjunto del tipo del de Cantor, la idea es también muy natural, pues el fractal no es más que la consecuencia de la acción del sistema dinámico. En los fractales del tipo de Mandelbrot, la conexión no está tan clara, puesto que además del proceso iterativo añadimos una condición para que un punto aparezca pintado o no. Sin embargo, esta condición puede interpretarse como necesaria y suficiente para delimitar el conjunto de puntos sobre los que se puede aplicar el proceso iterativo (que no diverge) y que permanecerán en el espacio de fases. Por lo tanto, adquiere en estos casos el fractal el sentido de "frontera del sistema dinámico", frontera que separa los puntos en los que tiene sentido la aplicación del proceso de los que no lo tiene. Este concepto de frontera es mucho más profundo de lo que puede parecer, puesto que, en términos de sistemas dinámicos, delimita la cuenca de un atractor, la zona del espacio en la que los puntos se ven arrastrados o repelidos por el atractor. Tienen por lo tanto, también este tipo de fractales, gran relación con los sistemas dinámicos caóticos (en el resto, las cuencas no son fractales).

Vemos por lo tanto que, en general, los fractales aparecen como una exposición gráfica de la acción del sistema caótico. Estudiando los fractales conocemos características del sistema dinámico que lo ha generado (y que podemos desconocer), y viceversa. Unos, como posible explicación de ciertos mecanismos de la naturaleza y otros como posible geometría de ésta. Siguiendo esta interpretación de la teoría, que habla de ésta como el "lenguaje de la naturaleza", debían estar muy relacionados, tanto caos como fractales. Y hemos visto que lo están.

Realidad de los fractales

La imagen del helecho obtenida como resultado del "Chaos Game" es realmente sorprendente. Como también lo son el resto de las imágenes de plantas, galaxias, ríos, costas, montañas, paisajes, etc., conseguidos por iteraciones semejantes. ¿Cómo es que se parecen tanto a la realidad? Si hablábamos sobre los sistemas dinámicos como herramienta intuitiva y natural a la hora de explicar los procesos dados en la naturaleza, y vemos que éstos están unidos conceptualmente a los fractales, no nos debe extrañar que aparezcan precisamente las formas de la naturaleza reflejadas el ellos. Así, en el sistema dinámico de Lorenz, que simulaba una meteorología, es muy probable que de sus mismas ecuaciones exista la posibilidad de poder extraer algún fractal que represente nubes, o un mapa de temperaturas... es decir, algo real, presente en la naturaleza. Los fractales pasan por lo tanto a ser una interesantísima prueba de que los sistemas dinámicos caóticos están realmente presentes en la naturaleza (dejando las discusiones de si están en nuestra cabeza o en la naturaleza). Podemos ahora divagar sobre las consecuencias de la "realidad" de los fractales. A pocas personas no les produce satisfacción y placer la contemplación de un objeto fractal. ¿A qué se debe esto? Podemos hablar de causas probables: la reiteración de un motivo, algo muy común en el arte; el colorido que en ellos se obtiene (y que es algo artificial, que elige quien diseña el programa que genera los fractales); la originalidad, nunca habíamos visto cosas iguales (las imágenes que no son copia de la realidad); etc. Pero podemos hablar de otra causa más profunda, basada precisamente en su parecido a las formas de la realidad. ¿Acaso lo que nos agrada está basado en las irregularidades ordenadas presentes en los fractales y no en las figuras geométricas clásicas? O quizá la propia tortuosidad de nuestra mente provoca que estos objetos nos parezcan bellos, por "parecerse a nosotros". O, dentro ya del aspecto más metafísico, quizá vemos en ellos un orden presente en la naturaleza, en todos sus rincones, común a todos los fenómenos. Existe un mecanismo, una ley, que provoca que la naturaleza sea como es. Pero ésta, al igual que una bella mujer, se nos muestra como un misterio, como algo oculto, que nos arrastra irremediablemente a una constante admiración y búsqueda. Contemplando esta belleza de los fractales, contemplamos la de la teoría del caos, y, en general, la de las matemáticas y la razón. Si algún día sustituimos los triángulos equiláteros por las nubes y las flores en nuestra visión geométrica del mundo, no será por el éxito matemático de la teoría del caos, sino por el triunfo sobre las otras cosas del sentimiento de belleza.

Benoit Mandelbrot (1936- )

Nacido en Polonia, sus padres emigraron a Francia en 1936 y su tío Szolem, profesor de matemáticas en el Collège de Francia asumió la responsabilidad de su educación. Benoit estudió en Paris, Lyon y en California (en Caltech).

Como investigador en IBM se enfrentó a un problema que sorprendía a los ingenieros de la multinacional. Estos notaron que se producen siempre errores de transmisión de información entre ordenadores, sea cual sea la cantidad de información transferida. Vieron además que existía cierta regularidad en la distribución temporal de estos: tras un período de ausencia venía otro repleto de errores. Mandelbrot analizó el fenómeno, y descubrió que a medida que acortamos los intervalos de tiempo estudiados, sigue apareciendo más complejidad en la distribución. Así, si durante una hora no se producen errores, en la siguiente sí se producen. Si estudiamos únicamente esta hora, y la dividimos en intervalos de 20 minutos, veremos que habrá intervalos sin errores, y otros con muchos errores; estudiando aquellos con errores volvíamos a ver nuevos intervalos, etc. Mandelbrot asoció la imagen con un objeto estudiado por el matemático Georg Canto, el conjunto de Cantor. Descubrió otros procesos con complejidad creciente a medida que nos aproximamos a ellos, y los llamó fractales. Mostró cómo los fractales están presentes en muchos lugares tanto en las matemáticas como en la naturaleza.

Entre otros premios, ha recibido la "Barnard Medal for Meritorius Service to Science", la Medalla Franklin y la Medalla Steinmetz (ésta, en 1991).